Дитячі евристичні ігри

Евристичні ігри розраховані на розвиток логічних зв’язків, які повинен встановлювати дитина в процесі свого становлення. Завдання, запропоновані в цьому розділі, допомагають дитині не тільки осмислювати певну ситуацію в цілому, але і вловлювати невидимі, на перший погляд, відносини, об’єктивно існують між предметами, речами і людьми. Вибудовуючи ланцюжок умовиводів, дитина приходить до важливого висновку: все в цьому світі взаємопов’язано, важливо тільки правильно направити свою думку, і тоді вражаюче відкриття буде неодмінно скоєно.
Завдання, включені в цей розділ, неодмінно сподобаються дітям з кількох причин: по-перше, вони цікаві тим, що знайомлять з історичними реаліями (за звичаєм, який існує в Стародавній Індії, люди влаштовували цілі інтелектуальні змагання, щоб виявити самого розумного, винахідливого і послідовного в побудові логічних ланцюжків), по-друге, умови цих завдань є легенди, перекази, а також цікаві фрагменти з книги улюбленого дітьми письменника Джонотан Свіфта («Жорстка постіль», «Пайок та обід Гуллівера», «300 кравців»), в -третє, дітям дуже цікаво збиратися разом і пробувати свої сили.
У Стародавній Індії був поширений своєрідний вид спорту — публічні змагання у вирішенні головоломних завдань. Складалися навіть підручники-керівництва для таких змагань. Процитуємо один з них: «По викладеним тут правилам мудрий може придумати тисячі інших завдань. Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так і вчений чоловік затьмарить славу іншого на ринках, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання ».

«Бджолиний рій»

Призначена гра для дітей старшого віку і підлітків. Кількість гравців не обмежується, але бажано близько 5 чоловік. На рішення евристичної задачі відводиться 1:00. Виграв вважається той, хто першим знайде правильну відповідь.
Бджоли в числі, рівному квадратному кореню з половини всього їх рою, сіли на кущ жасмину, залишивши позаду себе 8/9 рою. І тільки одна з бджілок того ж рою крутиться біля лотоса, залучена дзижчанням подруги, необережно потрапила в пастку солодко пахне квітки. Скільки всього бджіл було в рої?
Рішення.
Позначимо шукану чисельність рою через x, тоді рівняння буде мати вигляд:
квадратний корінь з дробу x / 2 +8 / 9 +2 = x.
Наводимо це рівняння в більш просту форму, вводячи допоміжне невідоме:

y = квадратний корінь з дробу x / 2.

Тоді x = 2х (y в квадраті), а рівняння буде мати такий вигляд:

y +16 ХY (в квадраті) / 9 +2 = 2хy (в квадраті), або 2хy (в квадраті) — 9хy — 18 = 0

Вирішивши це рівняння, отримуємо два значення для y:
y (перший) = 6, y (другий) = -3 / 2.

Відповідні значення для x:

x (перший) = 72, x (другий) = 4,5.

Так як число бджіл повинно бути ціле і позитивне, то задовольняє завданню тільки перший корінь: рій складався з 72 бджіл. Перевіримо:
квадратний корінь з дробу 72/2 +8 / 9х72 +2 = 6 +64 +2 = 72.

«День народження»

Гра призначена для дітей старшого віку і підлітків. Кількість гравців не обмежується, але бажано близько 5 чоловік. На рішення евристичної завдання відводиться 15 хвилин. Виграв вважається той, хто першим знайде правильну відповідь, після оголошення якого учасники гри розповідають про способи рішення.
У Маші та її батька сьогодні день народження. Батько старше дочки рівно в 11 разів. Через 6 років він буде старший за неї тільки в 5 разів, через 16 років — в 3 рази, через 36 років — всього в 2 рази. Скільки років Маші?
Спосіб рішення.
Нехай Маші буде x років, а батькові — y. За умовою Маша зараз молодше батька в одинадцять разів, тобто 11хx = y.
Через 6 років: (x +16) х5 = y +6.
Через 16 років: (x +16) х3 = y +16.
Через 36 років: (x +36) х2 = y +36.

Вирішуючи будь-яку пару рівнянь, одержимо x = 4. Тобто Маші 4 роки. Батькові, відповідно, виповнилося 44 роки.
Задачу можна вирішити, і не вдаючись до складання рівнянь. Для цього необхідно написати два ряди чисел:
1 2 3 4 5
11 22 33 44 55
У першому ряду — скільки років могло виповнитися Маші, у другому — батькові. 1 і 11 відпадає за логікою речей.
Тепер перевіримо наступну пару: 2 і 22. Якщо Маші зараз 2 роки, а батькові 22 роки, то через 6 років Маші буде 8, а батькові 28, 8 х 5 не дорівнює 28, тобто умова задачі не дотримується.
Третя пара чисел теж відпадає, так як 3 +6 = 9,
33 +6 = 39, 9х5 не дорівнює 39.
Перевіряючи пару 4 і 44, отримуємо: 4 +6 = 10, 44 +6 = 50. Перша умова дотримується. Перевіряємо далі.

4 +16 = 20, 44 +16 = 60, 20х3 = 60. Друга умова теж дотримано.

Перевіримо третя умова.

4 +36 = 40, 44 +36 = 80, 40х2 = 80. Таким чином, ми можемо сказати, що Маші виповнилося 4 роки, а батькові — 44 роки.

«Завдання Ньютона»

Гра для підлітків. Діти сідають в коло (кожен за своїм столом). У всіх учасників гри повинні бути ручки та аркуші паперу. Обумовивши умови задачі, учасники засікають час на її рішення — 1:00, після закінчення якого забираються
листочки і перевіряються. Спочатку всі гравці повідомляють про результати, які вони отримали, потім послідовно опитуються ті, хто правильно вирішив, а в кінці всі інші. Виграв вважається гравець, швидше за інших знайшов правильну відповідь.
Умова задачі:
«Три луки, вкриті травою однаковою густоти і швидкості росту, мають площі: 3 1/3 гектара, 10 гектарів і 24 гектара. Перший луг прогодував 12 биків у продовження 4 тижнів, другий — 21 бика протягом 9 тижнів ».
Питання: «Скільки биків може прогодувати третя луг протягом 18 тижнів?»
Рішення.
Введемо допоміжний невідоме у, яке буде означати, яка частка початкового запасу трави приросте на один гектар протягом тижня, тобто величина у — це коефіцієнт приросту трави.
На першому лузі протягом тижня наросте трави 3 1/3ху, а протягом 4 тижнів, відповідно, приростає 3 1/3хух4 = 40/3 того запасу, який спочатку був на 1 гектарі. Це рівнозначно тому, як якщо б первісна площа луки збільшилася б і стала рівною 3 1/3 +40 / 3ху гектарів. Тобто, бики з’їли б трави стільки, скільки займає луг площею в 3 1/3 +40 / 3ху гектарів.
Протягом одного тижня бики з’їли четверту частину цієї кількості, а один бик — 1/48 частину, то є запас трави, наявний на площі 3 1/3 +40 у/48 = (10 +40 ху) / 144 гектарів.
Подібним чином можна обчислити площу луки, на якому може годуватися один бик протягом одного тижня.
Тижневий приріст на 1 гектар = у,
дев’ятитижневий приріст на 1 гектар = 9ху,
дев’ятитижневий приріст на 10 гектарів = 90ху
Площа, яку буде достатньо для прокорму 21 бика протягом 9 тижнів, дорівнює 10 +90 ху
Площа ділянки, яка містить запас трави для годівлі 1 бика протягом тижня, вираховується наступним чином:
(10 +90 ху) / 9х21 = (10 +90 ху) / 189 гектарів.
Так як обидві норми споживання трави повинні бути однаковими, то отримуємо рівняння: (10 +40 ху) / 144 = (10 +90 ху) / 189.
Коли вирішимо це рівняння, отримаємо значення у: у = 1/12.
Тепер потрібно визначити площу луки, запас трави якого достатній для прокорму одного бика протягом тижня:
(10 +40 ху) / 144 = (10 +40 х1/12) / 144 = 5/54 гектара.
Тільки виконавши ці додаткові обчислення, можна приступити до вирішення завдання. Позначивши шукану кількість биків через х, маємо:
(24 +24 х18х1/12) / 18хх = 5/54, з цього рівняння знаходимо Х: Х = 36. Значить, третій луг може прогодувати за 18 тижнів 36 биків.

Ігри-завдання з книги Джонатана Свіфта «Подорож Гуллівера»

Гра являє інтерес для підлітків, вже прочитали цей твір англійського прозаїка. Краще пограти відразу після прочитання книги, коли ще живі враження і хлопців цікавить пошук розгадок чарівних обставин, яким піддався під час своїх пригод Гулівер.

«Жорстка постіль»

Діти сідають в коло (кожен за своїм столом). Вибирається ведучий. У всіх учасників гри повинні бути ручки та аркуші паперу. Після прочитання умов завдання ведучий засікає час на її рішення — 30 хвилин, після закінчення якого забираються листочки і перевіряються. Спочатку всі гравці повідомляють про результати, які вони отримали, потім послідовно опитуються ті, хто правильно вирішив, а в кінці всі інші. Виграв вважається гравець, який швидше знайшов правильну відповідь.
Умова задачі. «Шістсот матраців звичайних ліліпутскіх розмірів було доставлено на підводах в моє помешкання, де кравці взялися за роботу. З 150 матраців, зшитих разом, вийшов один, на якому я міг вільно поміститися в довжину і ширину. Чотири таких матраца поклали один на інший, але навіть і на цьому ліжку мені було так жорстко спати, як на кам’яній підлозі ».
Питання:
— Чому Гулліверу було жорстко на цьому ліжку?
Рішення.
Розрахунок, зроблений ліліпутами (Свіфтом), правильний. Якщо матрац ліліпутів в 12 разів коротше і, звичайно, в 12 раз вже матраца звичайних розмірів, то поверхня його була в 12х12 разів менше поверхні нашого (людського) матраца. Щоб Гулліверу лягти, йому потрібно було, отже, 144 (круглим рахунком 150) ліліпутскіх матраца. Але ліліпутські матрац дуже тонкий (в 12 разів тонше людського) — ясно, чому, навіть поклавши чотири шари таких матраців, Гулліверу було жорстко: вийшов матрац втричі тонше людського.

«Пайок та обід Гуллівера»

Діти сідають в коло (кожен за своїм столом). Вибирається ведучий. У всіх учасників гри повинні бути ручки та аркуші паперу. Після того як ведучий прочитає умову задачі, засікається час на її рішення — 30 хвилин, після закінчення якого забираються листочки і перевіряються. Спочатку всі гравці повідомляють про результати, які вони отримали, потім послідовно опитуються ті, хто правильно вирішив, а в кінці всі інші. Виграв вважається гравець, швидше знайшов правильну відповідь.
Умова задачі. Готуючи обід для Гуллівера, ліліпути взяли наступний обсяг продуктів, щоб нагодувати «велетня»: «Йому буде щодня видаватися пайок харчів та напоїв, достатній для прогодування 1728 подданнних країни ліліпутів». В іншому місці Гулівер скаже: «Триста кухарів готували для мене страви. Навколо мого будинку були поставлені курені, де відбувалася куховарство і жили кухаря зі своїми сім’ями. Коли наступав годину обіду, я брав в руки 20 осіб прислуги і ставив їх на стіл, а чоловік 100 прислужували з підлоги: вони подавали страви, інші приносили барила з вином та інші напої на жердинах, перекинуті з плеча на плече. Ті, що стояли нагорі в міру потреби піднімали все це на стіл за допомогою мотузки і келихів ».
Питання:
— З якого розрахунку призначали ліліпути такий великий пайок?
— Навіщо знадобився такий величезний штат прислуги для прогодування однієї людини?
— Сумірні подібний пайок і апетит з відносною величиною Гуллівера (Гулівер в дюжину разів вище ліліпута) і ліліпутів?
Рішення.
Потрібно пам’ятати про те, що ліліпути були в 12 разів менше Гуллівера, і у них, як і в нього, були нормальні пропорції частин тіла. Отже, вони були не тільки в 12 разів нижче ростом, але і в 12 раз вже і в 12 разів тонше Гуллівера. Обсяг їх тіла був тому менше обсягу тіла Гуллівера не в 12 разів, а в 12 * 12 * 12, тобто в 1728 разів. Для підтримки життя такої людини потрібно, відповідно, більше їжі в 1728 разів. Значить, розрахунок, зроблений ліліпутами, був вірний.
Щоб приготувати 1728 обідів, потрібно не менше 300 кухарів, якщо вважати, що один кухар може зварити півдюжини ліліпутскіх обідів. Відповідно, більше людей потрібно було і для того, щоб підняти такий вантаж на висоту столу Гуллівера, який був, як легко підрахувати, висотою з триповерховий будинок ліліпута.

На родном языке: На языке алгебры:

Путник! Здесь прах погребен Диофанта. – x
И числа поведать могут, о чудо, сколь Часть шестую его представляло прекрасное детство. – x/6
Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. – x/12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. – x/7
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца, сына, – 5
Кому рок половину лишь жизни прекрасной, светлой дал на земле по сравненью с отцом. – x/2
И в печали глубокой старец земного – x=x/6+x/12
удела конец воспринял, переживши – +x/7+5+x/2
года четыре с тех пор, как сына лишился. – +4

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение.
Решаем уравнение x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4 и получаем значение x=84. Теперь можно указать точные биографические данные:
– он женился в 21 год,
– стал отцом в 38 лет,
– потерял сына в 80 лет,
– умер в 84 года.

«Книги велетнів»

Діти сідають в коло (кожен за своїм столом). Вибирається ведучий. У всіх учасників гри повинні бути ручки та аркуші паперу. Коли ведучий прочитає умову задачі, засікається час на її рішення — 30 хвилин, після закінчення якого забираються листочки і перевіряються. Спочатку всі гравці повідомляють про результати, які вони отримали, потім послідовно опитуються ті, хто правильно вирішив, а в кінці всі інші. Виграв вважається той, хто швидше знайшов правильну відповідь.
Умови задачі. В країні велетнів Гуллівер побачив книги, про які він так розповів: «Мені дозволено було брати з бібліотеки книги для читання, але для того щоб я міг їх читати, довелося спорудити ціле пристосування. Столяр зробив для мене драбину, яку можна було переносити з місця на місце. Вона мала 25 футів у височину, а довжина кожної сходинки досягала 50 футів. Коли я висловлював бажання почитати, мою драбину встановлювали в 10 футів від стіни, повернувши до неї сходинками, а на підлогу ставили розкриту книгу, притуливши її до стіни. Я піднімався на верхню сходинку і починав читати з верхнього рядка, переходячи зліва направо і назад кроків на 8 або 10, залежно від довжини рядків.
У міру того як читання посувалося вперед і рядки припадали все нижче і нижче рівня моїх очей, я поступово спускався на другу сходинку, на третю і т. д. Дочитавши до кінця сторінки, я знову піднімався вгору і починав нову сторінку таким же манером. Листя перевертав обома руками, що було неважко, оскільки папір, на якому у них друкують книги, не товщі нашого картону, а найбільші їх фоліанти мають не більше 18-20 футів в довжину ».
Питання:
— Пропорційно чи споруда Гулліверу?
Рішення.
Сучасна книга звичайного формату має 25 см в довжину і 12 — в ширину. Виходячи з цього розміру, можна сказати, що книга в «Країні велетнів» була трохи перебільшеною. Щоб читати книгу менше 3 м ширини, можна обійтися без сходів, немає необхідності ходити вправо і вліво на 8-10 кроків. Але в часи Свіфта, тобто на початку XIX століття, звичайним вважався інший формат книги: близько 30 см у висоту і 20 см в ширину. Якщо збільшити ці цифри в 12 разів, то отримаємо наступні розміри книг-велетнів: 360 см (майже 4 м) у висоту і 249 см (2,4 м) в ширину. Читати чотириметрову книгу без сходів не можна.
Проте подібний фоліант повинен важити в 1728 разів більше нашого, а саме — близько 3 тонн. Вважаючи, що в ньому 500 аркушів, отримаємо для кожного аркуша книги велетнів вага близько 6 кг — кілька важкуватий вантаж для пальців руки.

«Триста кравців»

Діти сідають в коло (кожен за своїм столом). Вибирається ведучий. У всіх учасників гри повинні бути ручки та аркуші паперу. Коли ведучий прочитає умову задачі, засікається час на її рішення — 30 хвилин, після закінчення яких забираються листочки і перевіряються. Спочатку всі гравці повідомляють про результати, які вони отримали, потім послідовно опитуються ті, хто правильно вирішив, а в кінці всі інші. Кожен учасник гри докладно розповідає про шлях до відповіді. Виграв вважається той, який швидше знайшов правильну відповідь.
Умова задачі. «До мене було прикомандирований 300 кравців-ліліпутів з наказом зшити мені повну пару сукні за місцевим зразкам».
Питання:
— Як ви вважаєте, чи потрібно стільки кравців-ліліпутів, щоб зшити один костюм для звичайної людини, який більше ліліпута всього в 12 раз?
Рішення.
Щоб правильно вирішити цю задачу, потрібно визначити «розмір» поверхні тіла Гулівера: кожному квадратному дюйму тіла Гулівера відповідає квадратний дюйм тіла ліліпута. Прийнявши таку умову, ми вважаємо: 12 * 12 = 144. Значить, поверхня тіла Гулівера більше поверхні тіла ліліпута в 144 рази. Тому на костюм Гуллівера повинно було піти в 144 рази більше тканини, ніж на костюм ліліпута. Відповідно, і більше кравців, і більше робочого часу.
Якщо врахувати, що один кравець може пошити половину костюма за один день, значить, щоб зшити один костюм Гуллівера, тобто 144 ліліпутскіх костюма, потрібно 288 кравців (близько 300).

«Артіль косарів»

Гра призначена для підлітків і дітей старшого віку. У неї можна грати цілою групою, компанією.
Всі учасники гри сідають у коло за стіл, вибирається ведучий. Ним може бути найстарший з хлопців або той, хто знає відповідь і спосіб вирішення задачі.
У кожного учасника гри повинні бути листочки і ручки. Спочатку читається умову задачі, причому повідомляється, що це завдання дуже любив Л. Н. Толстой, а текст її взято із спогадів А. В. Цингера про великого письменника. Далі засікається час на її рішення — близько 20 хвилин. Після цього перевіряються рішення і відповіді. Виграв вважається той, хто швидше вирішить задачу.
Умова задачі. Артілі косарів треба було скосити два луги, один більше іншого. Половину дня артіль косила великий луг. Після цього вона розділилася навпіл: перша половина залишилася на великому лузі і докосіла його до вечора до кінця, друга ж половина косила малий луг, на якому до вечора ще залишився ділянку, скошений на інший день одним косарів за один день роботи.
Питання:
— Скільки косарів було в артілі?
Рішення.
Є два невідомих: число косарів і розмір ділянки, скошують косарів в один день. Тому необхідно ввести дві змінні: x (число косарів) і y (розмір ділянки, яка скошує один косец за один день). Тепер висловимо через x і y площа великого луки. Цей луг косили півдня x косарів, і вони скосили: xх1/2хy = (xхy) / 2.
Другу половину дня його косила тільки половина артілі, тобто x / 2 косарів, і вони скосили:
x/2х1/2хy = (xхy) / 4.
Так як до вечора був скошений весь луг, значить, площа його дорівнює:
(Xхy) / 2 + (xхy) / 4 = (3хxхy) / 4.
Тепер висловимо через x і y площа меншого кола. Його півдня косили x / 2 косарів і скосили площа:
x/2х1/2хy = (xхy) / 4.
Додавши недокошений ділянку, рівний y (площі луки, скошують одним косарів за один день), отримаємо площу меншого луки:
(Xхy) / 4 + y = (xхy +4 ХY) / 4.
Переводимо на мову математики вираз «перший луг вдвічі більше другого» і складаємо рівняння
((3хxхy) / 4) / (xхy +4 ХY) / 4 = 2,
або
3хxхy/xхy +4 * y = 2.
Тепер скоротимо дріб в лівій частині рівняння на y — допоміжне невідоме завдяки цьому обчислення забирається, а рівняння набуває такого вигляду:
3 * x / x +4 = 2,
3хx = 2хx +8,
x = 8.
Отже, в артілі було 8 косарів.
Задачу можна вирішити і більш простим способом. Роздуми повинні бути наступними. Якщо півдня великий луг косила ціла артіль і півдня — пів-артілі, стає зрозуміло, що за півдня пів-артілі скошують 1/3 луки. Отже, на малому лузі залишається нескошених ділянку в 1/2-1/3 = 1/6.Еслі один косец в день скошує 1/6 луки, а скошено було 6/6 +2 / 6 = 8/6, то косарів було 8.

«Життя Диофанта»

Гра призначена для підлітків і дітей старшого віку. Нею можна зайнятися цілою групою, компанією.
Всі учасники сідають у коло за стіл, вибирається ведучий. Ним може бути найстарший з хлопців або той, хто знає відповідь і спосіб вирішення задачі. Ведучий роздає всім учасникам гри листочки з таблицями і ручки.
Спочатку ведучий розповідає про те, що не збереглися точні біографічні відомості з життя відомого стародавнього математика Діофанта, а все, що відомо про нього, історики почерпнули з написів, що представляють собою математичні вирази на його гробниці.
Провідним дається завдання: заповнити останню графу таблиці. Дається час — близько 15 хвилин. Виграв вважається той учасник, який швидше правильно заповнить останню графу.